གྲངས་རིག་བྱུང་འཕེལ་གྱི་ཁྱད་ཆོས་དང་མཛེས་དཔྱོད་རིན་ཐང་ལ་ཆེ་ལོང་ཙམ་དཔྱད་པ།

ནང་དོན་གནད་བསྡུས། གྲངས་རིག་གི་རྩ་བའི་ཆོས་ཉིད་དང་ལག་ལེན་རིམ་པ་ནས་དེའི་གསར་གཏོད་རིག་པ་དང་གཏན་ཚིགས་བསམ་གཞིག བརྒྱུད་རིམ། མཛེས་དཔྱོད་དོན་སྙིང་དང་བསམ་བློའི་འཕེལ་རིམ། རིན་ཐང་དང་ཐག་གཅོད་ཐབས་ལམ་བཅས་བསྡུས་ཏེ་བསྟན་ཡོད།
གནད་ཚིག། གྲངས་རིག་བྱུང་འཕེལ། མཛེས་དཔྱོད་རིན་ཐང་། བསམ་བློའི་ཐབས་ལམ།

དང་བོ། གྲངས་རིག་གི་རྩ་བའི་ཆོས་ཉིད་དང་ལག་ལེན་རིམ་པ།
       གཅིག  སྐབས་དོན་སོ་སོའི་ཁྱད་ཆོས་བསྡུས་ཏེ་བཤད་པ།
       དེའང་གནའ་ནས་ད་ལྟའི་བར་དུ་གྲངས་རིག་བསམ་བློ་ཐབས་ལམ་དེ་ཐེངས་མང་བོར་འགྱུར་ལྡོག་ཆེན་པོ་བྱུང་མྱོང་ལ། ཐེངས་རེ་རེའི་འགྱུར་ལྡོག་དེ་ཨང་རྩིས་ནས་ཚབ་གྲངས་དང་། ཕྱོགས་བསྡུས་དབྱིབས་རྩིས་ནས་དབྱིབས་རྩིས་ཚབ་གྲངས། རྒྱུན་ཚད་གྲངས་རིག་ནས་འགྱུར་ཚད་གྲངས་རིག འབྱུང་ངེས་གྲངས་རིག་ནས་ཚོད་དཔག་གྲངས་རིག སྣང་གསལ་གྲངས་རིག་ནས་རབ་རིབ་གྲངས་རིག ལག་བཟོ་བདེན་དཔང་ནས་འཕྲུལ་ཆས་བདེན་དཔང་ལ་འགྱུར་བཞིན་པ་འདིའི་འཕེལ་རྒྱས་དང་འབྱུང་རྐྱེན་གྱི་ནུས་པ་ཐམས་ཅད་དངོས་ཡོད་རྣམ་པ་དང་ཁ་འབྲལ་དུ་མེད་པ་ཚོར་ཐུབ། རེ་རེའི་བསམ་བློའི་འབྱུང་རྐྱེན་དང་འཕོ་འགྱུར། འཕེལ་རྒྱས་ཀྱི་རང་གཤིས་བཅས་ཚད་གཞིའི་གྲངས་ཀའི་ཚད་ལེན་རིམ་པ་ཞིག་གིས་རིན་ཐང་ལ་རག་ལས་ཡོད་ཕྱིར། དེའི་བརྩི་འགྲོལ་རིམ་པ་དང་སྤྱི་འགྲོས་ངེས་སྲོལ་བཅས་རིག་ཚན་གཞན་གྱི་ཁྱབ་ཁོངས་སུའང་ཞིབ་འཇུག་གི་གནས་དང་རྣམ་གྲངས་མང་བོ་ཞིག་ཉི་མ་མེ་གྲོགས་དང་ཆར་བ་ཆུ་གྲོགས་སུ་འགྲོ་བར་གཞལ་བྱ་སོ་སོའི་ཆོས་ཉིད་དང་མཐུན་པར་ཟུར་རྒྱན་དུ་སྤྲོས་པའང་ཆེད་ལས་དོན་གཉེར་ཅན་མང་བོས་ཉམས་སུ་མྱོང་བཞིན་པ་དེ་རེད། གྲངས་རིག་བསམ་གཞིག་བྱེད་ཐབས་ཀྱི་རིམ་པ་ཆེད་མཁས་པས་ད་ལྟའི་བར་བསམ་བློ་གཏང་བའི་གནད་དོན་གཙོ་བོ་ཞིག་ཡིན། དུས་རབས་ཉི་ཤུ་བའི་སྟོད་བར་གྲངས་རིག་རྨང་གཞིའི་ཤེས་བྱར་གྲུབ་མཐའ་མི་འདྲ་བ་གསུམ་བྱུང་ཡོད་དེ། དེ་དག་ནི་གཏན་ཚིགས་དང་ཚོར་སྣང་། དབྱིབས་རྣམ་སྤྱི་སྲོལ་ལུགས་བཅས་ཡིན། གཏན་ཚིགས་རིང་ལུགས་ཀྱི་ལྟ་བ་སྤྱད་ན། གྲངས་རིག་གི་བྱེད་ཐབས་གཙོ་བོ་གཏན་ཚིགས་བསམ་གཞིག་ཡིན་པར་བརྗོད་དེ། ཚོར་སྣང་རིང་ལུགས་ཀྱི་ལྟ་བ་སྤྱད་ན། གྲངས་རིག་གི་བྱེད་ཐབས་གཙོ་བོ་ཚོར་སྣང་བསམ་གཞིག་ཡིན་པར་བརྗོད། དབྱིབས་རྣམ་རིང་ལུགས་ཀྱི་ལྟ་བ་སྤྱད་ན། གྲངས་རིག་གི་བྱེད་ཐབས་གཙོ་བོ་མཚོན་རྟགས་ཁྱད་པར་ཅན་གྱི་སྤྱི་འཛིན་རྟོག་པའི་ཚུལ་ཁོ་ནར་འདོད་པ་ཐམས་ཅད་སྐབས་དོན་སོ་སོའི་ལྟ་ཚུལ་གྱི་ཟུར་མ་འདྲ་བས་རེད། རིག་ཚན་གང་དེའི་རིག་གནས་བསྟན་དོན་ཐམས་ཅད་དོན་སྤྱིའི་གོ་བ་ལེན་པ་གྲངས་རིག་སྡེ་ན་ཡོང་གྲགས་སུ་ཁས་འཆེས་པས་རིག་ཚན་གང་ཞིག་གཞན་དང་མ་འདྲེས་ཤིང་ཁ་རེག་མཆུ་རེག་ཅུང་ཙམ་ཡང་མ་བྱས་བར་གཏན་སྡོད་དུ་གནས་པ་ཞིག་ཡེ་མི་སྲིད། གལ་ཏེ་སྲིད་ཀྱང་དེ་ནི་སྲོག་མེད་བེམ་རོ་ལྟ་བུ་ཡིན་པས་གནས་སྐབས་ཙམ་ལ་གོ་དོན་རེ་ཡོད་པ་མ་ཟད། དེ་མཐུན་གྱི་རང་མཚན་པའི་གནས་ལུགས་ཤིག་ཀྱང་ལྡན་མོད། འོན་ཀྱང་སྤྱི་ཚོགས་ཀྱི་འཕེལ་རྒྱས་དང་དུས་རབས་ཀྱི་དགོས་མཁོ་སྐོང་མི་ཐུབ་པས་ངང་ངམ་ཤུགས་ཀྱིས་ཉམས་དམས་སུ་འགྲོ་བ་ཆོས་ཉིད་ཡིན་པ་བཅས་ཀྱིས་རིག་གནས་ཚན་ཁག་སོ་སོ་ཕན་ཚུན་ལ་ཤན་ཞུགས་པ་དང་། ཕན་ཚུན་ལ་འབྲེལ་འཛུགས་པ་ནི་དེང་རབས་ཀྱི་ཚན་རིག་འཕེལ་རྒྱས་སུ་འགྲོ་བའི་སྒུལ་ཤུགས་ཆེན་པོ་ཞིག་རེད། དེང་སྐབས་རང་བྱུང་ཚན་རིག་གི་རིག་ཚན་སོ་སོ་གྲངས་རིག་བསམ་བློའི་དཔེ་གཞིའི་ཆགས་ཚུལ་དང་སྤྱི་ཚོགས་ཚན་རིག་གི་དབྱེ་བ་སོ་སོའི་དགོས་ངེས་ཆ་རྐྱེན་ཡང་ཡིན་པས། ཉིས་ཚན་ཟུང་འབྲེལ་གྱི་གྲངས་རིག་མཚད་ཉིད་རིག་པ་དང་། གྲངས་རིག་དཔལ་འབྱོར་རིག་པ། གྲངས་རིག་སྤྱི་ཚོགས་རིག་པ། གྲངས་རིག་སེམས་ཁམས་རིག་པ། གྲངས་རིག་སྐད་བརྡ་རིག་པ། གྲངས་རིག་མཛེས་དཔྱོད་རིག་པ། གྲངས་རིག་སྐྱེས་ཁམས་རིག་པ། རྩིས་རྒྱག་དངོས་ལུགས་རིག་པ་སོགས་མང་བོ་ཞིག་བྱུང་ཡོད་པ་རིག་ཚན་སོ་སོ་ཕན་ཚུན་ཤན་ཞུགས་དང་བརྗེ་རེས་བྱས་པས་དེང་རབས་གྲངས་རིག་འཕེལ་རྒྱས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས་མཚོན་ཡོད། དཔེར་ན། གོང་གི་ཉིས་ཚན་ཟུང་འབྲེལ་གྱི་ཚན་རིག་རིག་གནས་གྲུབ་ཚུལ་གྱི་གཞུང་ཕྱོགས་ནས་ཤན་ཞུགས་དང་། འཕྲེད་ཕྱོགས་ཀྱི་འགུལ་བསྣུར། ལངས་གཟུགས་བར་འདྲེས་བཅས་གྲངས་རིག་གཟབ་ནན་གྱི་གཏན་ཚིགས་དང་ཚད་མཐོ་བའི་སྤྱི་མཚན་ཁྱབ་ཆེ་བའི་བེད་སྤྱོད་རང་བཞིན་གྱི་ཁྱད་ཆོས་ཤིག་ཀྱང་ཡིན། ལོ་ངོ་འདི་དག་རིང་།གྲངས་རིག་གོང་འཕེལ་དང་ངོས་འཛིན་གཏིང་ཟབ་ཏུ་ཕྱིན་པར་བརྟེན་རིག་ཚན་འདིའི་ཁྱད་ཆོས་ལ་གོ་བ་གསར་བ་འགའ་ཡོད་དེ། དཔེར་ན། གྲངས་རིག་གཞི་རྩའི་ཁྱད་ཆོས་ནི་ཞིབ་ལྡན་དང་སྤྱི་མཚན། གཟབ་ནན། དངོས་བཀོལ་གྱི་ཁྱབ་བརྡལ་རང་བཞིན་དང་གྲངས་རིག་མཛེས་རྩལ་བཅས་ལ་སྟོན་བཞིན་ཡོད་པའི་གནས་ཚུལ་ལྟར་ན་གྲངས་རིག་དང་སྤྱི་ཚོགས་ཞེས་པར་གྲངས་རིག་ནི་ཅི་ཞིག་ཡིན་ནམ་ཞེ་ན། གནའ་ནས་ད་ལྟའི་བར་དུ་བཤད་ཚུལ་མི་མཐུན་པ་ཡོད་དེ། གྲངས་རིག་ལ་གཏོགས་པའི་ཁྱབ་ཁོངས་ནས། གྲངས་རིག་ནི་ལག་རྩལ་དང་། གཏན་ཚིགས། རང་བྱུང་ཚན་རིག སྒྱུ་རྩལ་རིག་གནས་ལ་སོགས་པར་འདོད། གྲངས་རིག་གི་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་ཡུལ་ནས་བལྟས་ན། གྲངས་ཀྱིས་རྩིས་རྒྱག་པར་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་པ་དང་། གྲངས་དང་ཚད་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་པ། དངོས་ཡོད་འཇིག་རྟེན་གྱི་གྲངས་ཚད་འབྲེལ་བ་དང་བར་སྣང་དབྱིབས་རྣམ་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་པ། བཟོ་ལྟར་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་པ། གྲུབ་སྟངས་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་པ་བཅས་དང་། གྲངས་རིག་གི་སྤྱི་ཚོགས་རིན་ཐང་ནས་བལྟས་ན། གྲངས་རིག་ནི་སྐད་བརྡ་དང་ལག་ཆ། མཚོན་རྟགས་བཅས་སུ་འདོད་མོད། འོན་ཀྱང་འདི་ཙམ་གྱིས་དེང་རབས་གྲངས་རིག་ཁྱད་ཆོས་ཡོངས་རྫོགས་མཚོན་པར་མི་ནུས་ཏེ། བྱ་དངོས་གྲུབ་སྟངས་དང་གྲངས་རྩིས་གཏན་ཚིགས་བཅས་འདུས་པས་རང་བྱུང་ཁོར་ཡིག་དང་བསྟུན་ནས་ཐོན་སྐྱེད་ལག་རྩལ་དར་བ་དང་ཆབས་ཅིག གནས་ཡུལ་སོ་སོ་ན་ཐུན་མོང་མ་ཡིན་པའི་བསམ་པ་དང་དངོས་བོའི་ལོངས་སྤྱོད་ཀྱི་བདག་ཉིད་དུ་གྲུབ་པའི་རིམ་པ་འཕེལ་རྒྱས་དང་འཐུས་ཚང་བར་གྱུར་ནས་ད་ལྟའི་ཆ་འཕྲིན་རིག་པ་དང་གསར་འགྱུར་ལས་སྣོན་གྱི་དུས་རབས་གསར་བའི་ནང་གྲངས་རིག་གི་ནུས་པ་དང་ཁྱད་ཆོས་ཡང་དེ་མཚུངས་སུ་འགྱུར་ནས་འགྲོ་བ་ངེས་དགོས་སོ། །
       གཉིས། གྲངས་རིག་གི་གསར་གཏོད་རིག་པ་དང་གཏན་ཚིགས་བསམ་གཞིག་བརྒྱུད་རིམ།
       མར་ཁེ་སི་དང་ཨེན་ཀེ་སིས་གྲངས་རིག་ལ་འཕེལ་རྒྱས་ཀྱི་ཆོས་ཉིད་ཅིག་ལྡན་པར་མ་ཟད། དེའི་རང་ངོས་ནས་ཁྱད་ཆོས་ཡོད་པ་གཞིར་བྱས་དེང་རབས་ཚན་རིག་དང་རྩོད་སྒྲུབ་སྨྲ་བའི་བསམ་བློ་ཡང་འདུས་ཡོད་ཅེས་གསུངས་པ་ལྟར། གྲངས་རིག་རྩོད་སྒྲུབ་རང་བཞིན་གྱི་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་པར་གཙོ་བོ་ཁག་གཉིས་ཡོད་པར་འདོད་དེ།གྲངས་རིག་ཁྲོད་ཀྱི་འགལ་འདུ་གཙོ་བོ་དཔེར་ན། ཕོ་དང་མོ། གཅིག་དང་མང་བོ། དྲང་མོ་དང་འཁྱོག་པོ། ཤེས་ཟིན་དང་མ་ཤེས་པ། རྒྱུན་ཚད་དང་འགྱུར་ཚད། ཁྱད་པར་ཅན་དང་སྤྱིར་བཏང་བ། མུ་འབྲེལ་དང་ཁ་ཐོར། ཚད་ཡོད་དང་ཚད་མེད། དག་ཆ་དང་ཉེ་མཚུངས། རབ་རིབ་དང་སྣང་གསལ་ལ་སོགས་པ་ལྟ་བུའོ། །གཞན་གྲངས་རིག་གི་(གོ་དོན་དང་། གཞུང་ལུགས། ཐབས་ལམ་སོགས།)རྩོད་སྒྲུབ་དབྱེ་ཞིབ་ཀྱི་ནང་དོན་ལ་དོན་གསུམ་འདུས་ཏེ། གཅིག་ནས་དོན་རང་ངོས་ནས་རྩོད་སྒྲུབ་དབྱེ་ཞིབ་བྱེད་པ། དཔེར་ན། “གཅིག”གི་ནང་དུ་མང་བོ་འདུས་ཡོད་པའམ་ཡང་ན། གྲངས་རིག་བདེན་དཔང་ཁྲོད་ཀྱི“དོན་དངོས་སུ་མ་ཤེས་པ་ནས་འགོ་བཟུང་སྟེ་ཤེས་ཟིན་པ་དང་མ་ཤེས་པའི་འགྲོལ་ཐབས་བཙལ་བ་ལྟ་བུ་རེད། གཉིས་སུ་ནང་དོན་གྱི་གྲུབ་ཚུལ་དང་འཕེལ་འགྱུར་བརྒྱུད་རིམ་ཁྲོད་ཀྱི་རྩོད་སྒྲུབ་དབྱེ་ཞིབ་དེ་ཡིན། དཔེར་ན། གྲངས་དང་དབྱིབས་དང་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ལ་སོགས་པའི་གྲངས་རིག་གཞི་རྩའི་གོ་དོན་ཚང་མ་གྲངས་རིག་ངོས་འཛིན་གྱི་འགལ་འདུའི་བསམ་གཞིག་བརྒྱུད་དེ། ཐོག་མའི་དོན་དངོས་གནད་དོན་ཁྲོད་ནས་རིམ་བཞིན་ཚན་རིག་གི་གོ་དོན་ལྟ་བུ་འགྱུར་བའམ་དེ་ལས་རྩོད་སྒྲུབ་བསམ་གཞིག་དང་གྲངས་རིག་གོ་དོན་གྱི་འགྱུར་བ་དང་བསྟུན་ནས་རྟོག་དཔྱོད་བྱེད་དགོས་པ་ལྟར་ཡིན། གསུམ་དུ་ནང་དོན་གྱི་ཡོངས་ཁྱབ་འབྲེལ་བ་སྟེ། དཔེར་ན། དབྱིབས་རྩིས་ཀྱི་གོ་དོན་མང་བོར་གཏོགས་པའི་འབྲེལ་བ་དེ་བརྗེ་བསྒྱུར་མི་ཉུང་བ་ཞིག་མཚུངས་ཚུལ་འབྲེལ་བར་བརྒྱུད་ནས་འཛུགས་ཐུབ་པ་ལྟ་བུ་ཡིན། ཇི་སྐད་དུ། རྟེན་འབྲེལ་བསྟོད་པ་ལས། འདི་ལ་བརྟེན་ནས་འདི་འབྱུང་བའི། །རྣམ་བཞག་ཐམས་ཅད་འཐད་པ་གཉིས། །མི་འགལ་འདུ་བ་སྨོས་ཅི་དགོས། །བརྟེན་ནས་འབྱུང་བའི་རྒྱུ་མཚན་གྱིས། །ཞེས་པ་ལྟར། གནའ་བོའི་ཀེ་རེ་སིའི་ཡ་ལེ་ཧྲི་ཏོ་ཏེ(Aristotle)དང་ཨོ་ཅི་ལེ་ཏེ(Euelid)རྣམ་གཉིས་ཀྱིས་སྤྱི་སྲོལ་ཐབས་ལམ་བཏོན་ཞིང་ཚད་མང་བོ་དང་ཁ་ཐོར་བའི་དབྱིབས་རྩིས་ཤེས་བྱ་མཐའ་དག་མ་ལག་ཅན་གྱི་སྒྲིག་གཞི་ཆགས་སུ་བཅུག་པ་ནས། མཇུག་མཐར་ཨོ་ཅི་ལེ་ཏེ་དང་བཅས་པས«དབྱིབས་རྩིས་མ་དེབ»བསྒྲིགས་ནས་འགྲེམས་སྤེལ་བྱས་པ་རེད། ཀྲུང་གོའི་གནའ་རབས་གྲངས་རིག་མཁས་པ་ལེ་ཧེས་“སྒོར་དབྱིབས་གཅོད་རྩལ”བཏོན་ནས་ཡུན་རིང་བོར་སྒོར་མཐའི་ཆོད་ཀྱི་དག་མིན་གནད་དོན་ལ་རྩིས་བརྒྱབ་ནས་ཐག་གཅོད་བྱས། འདིའི་ཁྲོད་དུ་མུ་མཐའི་གྲངས་རིག་བསམ་བློའི་མྱུ་གུ་འབུས་མགོ་བརྩམས་པའང་ཤུགས་སུ་རྟོགས་ནུས། ཧྥ་རན་སེའི་གྲངས་རིག་མཁས་པ་ཕཱ་སི་ཁས(Blaise Pascal)གྲངས་རིག་ཕྱོགས་བསྡུས་ཐབས་ཀྱི་ལག་ལེན་བཙུགས་ནས་གྲངས་རིག་བསྒྲུབ་བྱའི་ཁྲོད་ཀྱི་ཞིབ་ཚགས་མིན་པའི་གནད་དོན་ཐག་གཅོད་བྱས། དབྱིན་ཇིའི་གྲངས་རིག་མཁས་པ་ནཱ་ཕེར(John Naper)གྱིས་གཏད་གྲངས་ཐབས་ལམ་གསར་གཏོད་བྱས་ནས་གནམ་དཔྱད་རིག་པའི་རྟོག་དཔྱོད་དང་ཚོང་ཟོང་དཔལ་འབྱོར་ཁྲོད་དུ་གནས་པའི་གྲངས་ཀ་འབོར་ཆེན་རྩིས་རྒྱག་པའི་གནད་དོན་ཐག་བཅད། ཧྥ་རན་སེའི་གྲངས་རིག་མཁས་པ་དང་མཚན་ཉིད་རིག་པ་བ་ཏེས་ཁར(Rene Descartes)གྱིས་གནས་ཚད་ཐབས་བཏོན་ཏེ་ཚབ་རྩིས་ཐབས་ལམ་གྱིས་དབྱིབས་རྩིས་གནད་དོན་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱས་པར་མ་ཟད་གྲངས་རིག་མ་ལག་མི་འདྲ་བ་རྣམས་ཕན་ཚུན་ཟུང་འབྲེལ་བྱེད་པའི་གྲངས་རིག་རིགས་ལམ་གསར་བ་ཞིག་ཚུགས་པར་བྱས། དབྱིན་ཇིའི་ཉིའུ་ཏུན(lsaas Newton)དང་འཇར་མན་གྱི་ལེ་པུ་ཉེ་ཙིས(lei bniz)གཉིས་ཀྱིས་ཚད་མེད་པའི་ཆུང་ཚད་ཀྱི་ཐབས་ལམ་བཏོན་ཏེ་ཆ་ཕྲན་བསགས་གཞུང་ལུགས་གསར་འཛུགས་ཁྲོད་ཀྱི་གནད་དོན་ཐག་གཅོད་བྱས། སུའེ་ཙེར་རྒྱལ་ཁབ་ཀྱི་གྲངས་རིག་མཁས་པ་ཨའོ་ལཱ(leonhard euler)དང་ཧྥ་རན་སེའི་གྲངས་རིག་མཁས་པ་ལཱ་གི་ལིང་རི(lagrange)རྣམ་གཉིས་མཉམ་འབྲེལ་བྱས་ཏེ་དབྱེ་འགྱུར་ཐབས་གསར་དུ་ཚུགས་པ་དང་མཐའ་སྐོར་མཚུངས་པའི་གནད་དོན་དང་ཆེས་མྱུར་འགྲུབ་ཐིག་གནད་དོན་སོགས་ཡུན་རིང་བོར་ཐག་གཅོད་བྱེད་མ་ཐུབ་པའི་ཆེ་ཤོས་དང་ཆུང་ཤོས་གནད་དོན་ཐག་གཅོད་བྱས་པ་རེད། ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཁྲོད་དུའང་ཁྱུའི་རྣམ་བཤད་ཀྱི་རིགས་ལམ་གསར་བ་དེ་བྱུང་ནས་དུས་རབས་བཅུ་དགུ་བར་མི་རྣམས་ཀྱིས་ཐེངས་ལྔ་དང་ཐེངས་ལྔ་ཡན་གྱི་ཚབ་རྩིས་མཉམ་བྱས་ཚབ་རྩིས་འགྲོལ་ཐབས་ལ་དབྱེ་ཞིབ་བྱས་པ་དང་ལོ་ངོ་བརྒྱ་ལྷག་གི་རིང་ལ་གོ་བ་མ་རྙེད་པའི་དོན་དེ་ཐག་བཅད། ནའོ་ལྦེ་རྒྱལ་ཁབ་ཀྱི་གྲངས་རིག་མཁས་པ་ཨཱ་པེར(abel)ཡིས་ཐེངས་ལྔའི་མཉམ་བྱར་རྩིས་འགྲོལ་ཐབས་ཀྱིས་ཐོག་མར་བདེན་དཔང་བྱས་པ་ནས་ཧྥ་རན་སིའི་གྲངས་རིག་མཁས་པ་ཀཱ་ལོ་བ(E.Galois)ཡིས“ཁྱུ”གོ་དོན་བསྟན་པ་དང་རིམ་བཞིན་ཁྱུའི་རྣམ་བཤད་ཆ་ཚང་བའི་བསམ་བློ་ཐབས་ལམ་ཞིག་གོང་འཕེལ་བྱུང་བ་དང་སྦྲགས་ཐེངས་ལྔ་དང་ཐེངས་ལྔ་ཡན་གྱི་མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐབས་གནད་དོན་དེ་ཐག་བཅད་པ་ཡིན། ཁྱུའི་རྣམ་བཤད་ཀྱི་རིགས་ལམ་གསར་བ་དེ་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཡན་ལག་གཞན་པ་ཞིག་སྟེ། རྟེན་འབྱུང་གྲངས་རྣམ་བཤད་དང་བཅས་པའི་གྲངས་རིག་ཁྱབ་ཁོངས་སོ་སོར་རྒྱུན་འབྱམས་སུ་བེད་སྤྱོད་བྱེད་པ་དང་ཆབས་ཅིག ཁྱུའི་རྣམ་བཤད་གསར་གཏོད་བྱས་པ་ནས་བཟུང་སྲོལ་རྒྱུན་ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་ཞིབ་འཇུག་བྱ་ཡུལ“གྲངས་ཀ”དེ་ཡང་ཧ་ཅང་སྤྱི་མཚན་ཡིན་པའི“ཚད”ཀྱི་ལག་ལེན་ལ་འགོ་བརྩམས་ཤིང་། ཚད་དབར་གྱི་ཚབ་རྩིས་རྩིས་རྒྱག་གི་འབྲེལ་བ་དེའང་སྤྱིར་བཏང་འབྲེལ་བར་འཕེལ་བས་ཚབ་རྩིས་རིག་ཚན་འདི་ལ་གནམ་ས་བླ་འོག་བསྒྱུར་བ་ལྟ་བའི་འགྱུར་ལྡོག་ཆེན་པོ་བྱུང་ངོ་། །གྲངས་རིག་དབྱེ་ཞིབ་ཁྲོད་དུའང་མུ་མཐའ་དང་ཚོགས་སྤྱི་རྣམ་བཤད་ཀྱི་གྲངས་རིག་རིགས་ལམ་བྱུང་ཡོད་ལ། དུས་རབས་བཅུ་དགུ་བའི་ལོ་རབས་ལྔ་བཅུ་བར། ཧྥ་རན་སིའི་ཁའོ་ཞི(Couchy.Augustin Louis)དང་འཇར་མན་གྱི་བེ་སི་ཐེ་ལ་སི་དང་བཅས་པས་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་དང་མུ་མཐའ་བཅས་ཀྱི་གོ་དོན་ཞིབ་ཚགས་སུ་བཏིང་བའི་རྨང་གཞིའི་སྟེང་མུ་མཐའི་བསམ་བློ་དང་དངོས་ཡོད་གྲངས་ཀྱི་གཞུང་ལུགས་གཉིས་བརྒྱུད་ནས་ཆ་ཕྲན་བསགས་ལ་བཟོ་བཅོས་བྱས་པ་མ་ཟད། གཟབ་ཞིབ་དང་ཚད་གཞི་ཅན་དུ་བཏང་བས་ཆ་ཕྲན་བསགས་ཀྱི་རིག་ཚན་གྱི་འཕེལ་རྒྱས་ལོ་རྒྱུས་སྟེང་གི་རྡོ་རིང་གལ་ཆེན་ཞིག་ཏུ་གྱུར་ཡོད་པ་ཐམས་ཅད་དངོས་ཡོད་འཇིག་རྟེན་གྱི་མ་འདྲེས་མ་ནོར་བར་སོ་སོར་རྟོགས་པའི་བློ་གྲོས་ཡངས་པོའི་སྒོ་བརྒྱ་བདེ་ལེགས་སུ་འབྱེད་པའི་སྔོན་བྱོན་གྲངས་རིག་མཁས་པའི་ལག་རྗེས་བླ་མེད་དང་། གསར་གཏོད་ཀྱི་ཉིང་བཅུད་ཡིན་པ་སོ་སོ་དངོས་པོའི་གཤིས་ལུགས་དངོས་དང་ཐོད་གཏུག་པའི་རང་བྱུང་ཚན་རིག་གི་གཞུང་ལུགས་དྲི་མ་མེད་པ་ཡིན་ཕྱིར། རྒྱལ་ཁབ་ཕྱི་ནང་ཀུན་གྱི་གྲངས་རིག་མཁན་པོ་ཚོའི་མཁྱེན་རབ་སྣང་བ་འབུམ་གྱིས་ཕྱུག་པའི་གཏན་ཕབ་ཀྱི་གཞུང་ཕྱི་མོ་གཙོ་བྱས་པའི་གྲངས་རིག་ཁྱད་ཆོས་ཅན་གྱི་སྒྲིག་གཞིའི་སྤྱི་ཁོག་ནས་ལག་ལེན་དངོས་ལ་འབེབས་པ་ཐམས་ཅད་རྩིས་ཀྱི་རི་མོའི་བརྡ་དང་། གྲངས་ཀྱི་འགྱུར་ཚད་མ་ལག་ནས་གཞུང་རྐང་ཆ་འགྲིག་པ་ཞིག་བླང་དང་དོར་བྱའི་གནས་རྣམ་པར་འབྱེད་པའི་གསལ་ཟབ་མྱུར་བའི་པའི་རིགས་པའི་རྩལ་མངོན་པར་ཚད་དང་ལྡན་པར་མཁས་པ་ཀུན་གྱིས་མཐུན་སྣང་དུ་བཞེད་པ་མ་ཟད། རིག་ཚན་གཞན་དང་མི་འདྲ་བར་དངོས་པོའི་ཆོས་ཉིད་དངོས་དང་ཐོ་ཐུག་པར་དཔྱད་གསུམ་དག་པའི་ལམ་ནས་གཏན་ལ་བབས་པའི་གནས་འདི་ལ་རང་རེས་ཕྱི་རབས་པའི་གསར་སྐྱེས་གཞོན་ནུ་རྣམས་ཀྱིས་འབད་པ་དང་ལག་ལེན་རེ་བྱས་ན་མི་རིགས་ས་ཁུལ་གྱི་དཔལ་འབྱོར་དང་རིག་གནས་སློབ་གསོ་ཕྱོགས་གང་ཐད་ལ་ཕན་པ་རྒྱ་ཆེན་པོ་ཡོང་སྲིད།
གཉིས་པ། གྲངས་རིག་མཛེས་དཔྱོད་རིག་པ་དང་དེའི་ཁྱད་ཆོས།
       གཅིག མཛེས་དཔྱོད་ཀྱི་སྐབས་དོན་མདོར་བཤད།
       གྲངས་རིག་མཛེས་དཔྱོད་ཀྱི་ཞིབ་འཇུག་ནི་གྲངས་རིག་ཐབས་ལམ་གྱི་བརྩམས་ཆོས་དང་དཔྱད་བརྗོད་མང་བོའི་ནང་གོ་གནས་ངེས་ཅན་ཞིག་ཟིན་ཡོད། ཚན་རིག་པ་མང་བོ་ཞིག་གིས་ཀྱང་གྲངས་རིག་མཛེས་དཔྱོད་ཀྱི་རིགས་ལམ་ཁྱད་པར་ཅན་འདིས་ལག་ལེན་གྱི་མྱོང་བ་དང་གཞུང་ལུགས་ཀྱི་ཤེས་བྱ་མང་བོ་ཟུང་དུ་སྦྲེལ་བས་གསར་གཏོད་རང་བཞིན་གྱི་འབྲས་བུའང་མང་བོ་ཐོབ་མྱོང་། མིའི་རིགས་ཀྱིས་མཛེས་པའི་ངོ་བོ་དང་ཆོས་ཉིད་ལ་རྟོག་ཞིབ་དང་མྱོང་ཚོར་བགྱིས་མོད་ཀྱང་མཛེས་པའི་དོན་ངོ་མ་ཇི་འདྲ་ཡིན་པ་ནི་དུས་ཡུན་རིང་བོའི་ནང་དུ་མཚན་ཉིད་རིག་པ་བ་དང་མཛེས་དཔྱོད་རིག་པ་བ། རྩོམ་རིག་སྒྱུ་རྩལ་གྱི་དཔྱད་བརྗོད་པ་ཚང་མ་གཞུང་ལུགས་ཀྱི་ངོས་ཐད་དང་ཟུར་མི་འདྲ་བའི་ལྟ་ཚུལ་གྱིས་ཚང་མས་ཁས་ལེན་པའི་མཚན་ཉིད་ཅིག་ད་རུང་བཀོད་ཐུབ་མེད། འོན་ཀྱང་། ལོ་རྒྱུས་ཤིག་ཆགས་པ་ནས་བཟུང་མིའི་རིགས་ཀྱི་འཇིག་རྟེན་ངོས་འཛིན་དང་བསྒྱུར་བཅོས་ཀྱི་ལག་ལེན་ནང་དུ་མཛེས་པ་ཞིག་ཡོད་པ་གཞི་ནས་རྟོགས་ཏེ་ཕྱི་ཡུལ་རང་སྣང་ཡུལ་ཅན་དུ་ཚུར་སྣང་བྱུང་བའི་རང་འགུལ་དང་རང་འགུལ་མ་ཡིན་པའི་མཛེས་པ་གསར་གཏོད་དང་། དོན་སྤྱི་དང་སྒྲ་སྤྱི་འཛིན་པའི་སྤྱི་བམ་ཡང་ན་དངོས་མེད་ལྐོག་གྱུར་གྱི་སྤྱི་མཚན་འཛིན་པ་དེ་དག་མངོན་གསལ་གསོན་ཉམས་ལྡན་པའི་སྣང་བརྙན་དུ་འགོད་པའི་ཐབས་རྩལ་གྱི་སྟེང་དུ་མངོན་དགོས་པ་མཐའ་དག་གཞི་བཅོལ་ས་ཐུན་མོང་གིས་ལྟ་བའི་ཕྱི་རོལ་ཡུལ་གྱི་གནས་ཚུལ་ངོ་མ་ཡོད་དེ། སྤྱིར་མཛེས་པའི་སྡོད་ལུགས་ཀྱི་གནས་དང་རྣམ་གྲངས་ལ་སྔོན་དུས་སུ་སྤྱི་ཚོགས་གྱི་མཛེས་པ་དང་རང་བྱུང་གི་མཛེས་པ། སྒྱུ་རྩལ་གྱི་མཛེས་པ་ཞིག་དང་རྣམ་པའམ་ཕྱི་ཚུལ་གྱི་མཛེས་པ་མ་གཏོགས་དགར་མེད། དེང་སྐབས་མཛེས་པའི་རྣམ་པ་གཞན་ཞིག་སྟེ་ཚན་རིག་གི་མཛེས་པ་ཞིག་ཐུན་མོང་གིས་ཁས་ལེན་དང་གདེང་འཇོག་བྱས་དང་བྱེད་བཞིན་ཡོད། ཚན་རིག་ལག་ལེན་ཁྲོད་མི་རྣམས་ཀྱིས་ཕྱི་ཡུལ་ཆོས་ཉིད་ངོས་འཛིན་བདེན་ལུགས་གྱི་མནོ་བསམ་དང་གཏིང་ཟབ་མོའི་བསམ་བློ་དེ་དག་རྟོག་ཞིབ་བྱས་པའི་གྲངས་ཚད་ཀྱི་འབྲེལ་བ་དང་བར་སྣང་དབྱིབས་ཚུལ་གྱི་ཆོས་ཉིད་ལས་གཞན་བྱ་དངོས་གྲུབ་སྟངས་གྲངས་རྩིས་ཀྱི་གཏན་ཚིགས་བཅས་གཏིང་སིམ་པར་མངོན་དགོས་པས། ཚན་རིག་གི་གཞུང་ལུགས་གསར་འཛུགས་དང་ལག་ལེན་དུ་བདེན་པ་དང་ནོར་འཁྲུལ། ཕྱོགས་རེ་བ་དང་ཆ་ཚང་བ། རྗེས་ལུས་དང་སྔོན་ཐོན་གྱི་འགལ་འདུའི་རིམ་པ་ཞིག་གིས་དོན་དངོས་རང་བྱུང་གི་སྣང་ཚུལ་དང་ནང་དོན་གྱི་མཛེས་པའི་རྣམ་པ་ཞིག་འདུས་ཡོད་པའང་ཞོར་ལ་རྟོགས་ཐུབ། ཚན་རིག་གི་མཛེས་པ་ཡང་གཙོ་བོ་དངོས་སྟོབས་རྗེས་དཔག་གི་རིག་པའི་ལམ་ནས་རྙེད་པའི་གཞལ་བྱ་ཀློག་གྱུར་གྱིས་ཕྱིའི་ཡུལ་ཁམས་ལ་ཆེས་གཏིང་ཟབ་པའི་ངོས་ཟིན་ཐོབ་པའི་ནུས་པ་བསྐྱེད་པ་དེ་ཡིན་པས། ཚན་རིག་གཞུང་ལུགས་ཀྱི་གསར་འཛུགས་ཡང་མཛེས་དཔྱོད་ལྟ་བའི་སྣང་ཚུལ་ཚན་རིག་པས་རང་བྱུང་གི་ཆོས་ཉིད་དང་མཛེས་པའི་མྱོང་ཚོར་གྱི་འཚོལ་རྟོག་དང་གསར་གཏོད་ཀྱི་འབྲས་བུ་ཡིན། ཚན་རིག་མཛེས་རྟོག་གི་འཕེལ་རིམ་ཡང་གནའ་བོའི་ཀེ་རི་སི་ནས་དུས་རབས་བཅོ་བརྒྱད་པའི་དཀྱིལ་ཙམ་གྱི་ལོ་ངོ་ཉིས་སྟོང་ལྷག་གི་དུས་རིམ་ནང་ཚན་རིག་པ་དང་མཚན་ཉིད་རིག་པ་བས་རང་བྱུང་ཚན་རིག་གི་གཞུང་ལུགས་ལ་དཔྱད་པ་གཏོང་སྐབས་བཞེད་པ་གཅིག་མཐུན་གྱིས་ཚན་རིག་གི་མཛེས་པའི་དཔྱད་གཏམ་སྐོར་ཡང་ཡང་དུ་འགྲེལ་རྒྱབ་མྱོང་།
       དུས་རིམ་དེའི་ནང་དུ། མིའི་རིགས་ཀྱིས་ཚན་རིག་གི་མཛེས་པའི་འཚོལ་རྟོག་མངོན་སུམ་དུ་ཚན་རིག་ཞིབ་འཇུག་ཏུ་འདྲེན་ཅི་ཐུབ་བྱས། དུས་རབས་བཅོ་བརྒྱད་པའི་དུས་དཀྱིལ་ཙམ་དུ་མཛེས་དཔྱོད་ནི་ཚན་རིག་ལས་བརྒལ་བའི་མགོ་བརྩམས་པ་དང་། འཇར་མན་གྱི་མཚན་ཉིད་རིག་པ་བ་པཱོ་མུ་ཅ་ཐོ(A.G.Baumgarten)ཡིས«མཛེས་དཔྱོད»ཅེས་བའི་དེབ་ཅིག་བརྩམས་ནས་མཛེས་དཔྱོད་དེ་སྒེར་ཚུགས་ལྡན་པའི་རིག་ཚན་ཞིག་ཏུ་བསྟན་ཡོད། ཧེ་ཀར(G.W.F.Hegel)གྱི་བཤད་པ་ལྟར་ན། མཛེས་དཔྱོད་དམིགས་ཡུལ་ནི་རྒྱ་ཆེ་ཞིང་ཁྱོན་ཡངས་པའི་མཛེས་པའི་ཁྱབ་ཁོངས་ཤིག་ཡིན་ལ་ཡང་གཅིག་བཤད་ན། དེའི་ཁྱབ་ཁོངས་ནི་སྒྱུ་རྩལ་ཡིན། ཙཱེ་པོ་ཉིས་དེ་ནི་མཛེས་པའི་སྒྱུ་རྩལ་ཡིན་ཞེས་དང་། དུས་རབས་བཅུ་དགུ་བའི་དུས་མཇུག་ཏུ། རང་བྱུང་ཚན་རིག་འཕེལ་རྒྱས་སུ་ཕྱིན་པ་ཤིན་ཏུ་ནས་མགྱོགས་ཤིང་། ཚན་རིག་གསར་གཏོད་ཁྲོད་ཀྱི་གཏན་ཚིགས་ཀྱི་བསམ་བློ་དང་མཛེས་པའི་མྱོང་སྣང་གི་ནུས་པའང་ཉམས་སུ་མྱོང་ཡོད་པར་མ་ཟད། མཛེས་པ་ནི་མིའི་འདུ་ཤེས་དང་རིག་སྟོབས། སེམས་ཁམས་དང་མིའི་རང་གཤིས་བསླུ་མེད་ཀྱི་རིག་པ་གསར་བས་ཐག་བཅད་པ་ལས་འཁྲུལ་བ་ཅན་གྱིས་རང་ཡུལ་འཇལ་བ་དོན་དུ་མི་འགྱུར་བའི་དངོས་པོའི་གཤིས་ལུགས་དང་མཐུན་པའི་བདེན་པ་བདེན་འཚོལ་གྱི་ལྟ་ཚུལ་ནི་དུས་ཚུགས་ཀྱི་དབྱེ་བ་ལྟར་དགུན་གྱི་ཁ་བ།དཔྱིད་ཀྱི་ལྗང་མྱུག དབྱར་གྱི་མེ་ཏོག སྟོན་གྱི་འབྲས་བུ་བཞིན་དུ་ཐོད་ཐུག་དགོས་པ་ཡང་ཞོར་ལ་གྲུབ་ཡོད་པ་མངོན་སུམ་ཚད་མས་གྲུབ་ཡོད།
       གཉིས། གྲངས་རིག་མཛེས་དཔྱོད་ཀྱི་དོན་སྙིང་དང་དེའི་བསམ་བློའི་འཕེལ་རིམ།
       གྲངས་རིག་མཛེས་དཔྱོད་ཀྱི་དོན་སྙིང་ནི་མིའི་རིགས་ཀྱིས་གྲངས་རིག་གི་མཛེས་པའི་རྣམ་པ་དེར་ལོ་རྒྱུས་ཀྱི་འཕེལ་རིམ་དང་རིན་ཐང་ལྟ་བའི་འགྱུར་ལྡོག་ལ་བརྟེན་ནས་ངོས་ཟིན་ལ། སྤྱི་ལོ་སྔོན་གྱི་དུས་རབས་དྲུག་པར་གནའ་བོའི་ཀེ་རི་སིའི་མཚན་ཉིད་རིག་པ་དང་གྲངས་རིག་མཁས་པ་བེ་ཏ་ཀེ་ལ་སིས(Pthagoras)དངོས་པོ་ཐམས་ཅད་གྲངས་ཡིན་པའི་ལྟ་ཚུལ་བཏོན་པ་དང་། འཇིག་རྟེན་ཁམས་ཀྱི་དངོས་པོ་ཚང་མ་གྲངས་ཀྱི་སྒོ་ནས་གྲུབ་པ་ཤ་སྟག་ཡིན་ལ་འཇིག་རྟེན་གྱི་ཆགས་རིམ་དེའང་གྲངས་གྱི་འཁོར་སྤྱོད་ཀྱི་ཆོས་ཉིད་ཅིག་དང་། གྲངས་ནི་དངོས་པོ་འགྲུབ་བྱེད་ཀྱི་རྩ་བའི་རྨང་གཞི་ཡིན་པས་དེ་བརྒྱུད་ནས་གྲངས་ཀྱི་འཁོར་སྤྱོད་བཟོས་པ་ཡིན། ཁོའི་འདོད་ཚུལ་ལྟར་ན། གྲངས་ལས་ཚེག་བྱུང་བ་དང་། ཚེག་ལས་ཐིག་བྱུང་། སྙོམས་ངོས་ལས་ལངས་གཟུགས་བྱུང་། ཐིག་ལས་སྙོམས་ངོས་བྱུང་། ལངས་གཟུགས་ལས་ཚོར་སྣང་འབྱུང་ཐུབ་པའི་དངོས་བོ་མཐའ་དག་བྱུང་བར་འདོད། གྲངས་ཀྱི་ཞིབ་འཇུག་དང་གནམ་དཔྱད་རིག་པ། འཛུགས་སྐྲུན། འབག་བཟོ། གླུ་དབྱངས་ལ་སོགས་པར་འབྲེལ་ཏེ་གྲངས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས་ཐུན་མོང་བའི་རིག་གནས་ལྟར་བརྗོད་ན། དཔེར་ན། གལ་ཏེ་རྒྱུད་གསུམ་གྱི་སྒོ་ནས་དབྱངས་ཤིག་འདོན་པ་ན་དེ་གསུམ་པོའི་རིང་ཚད་ཀྱི་སྡུར་ནི༣：༤：༦སྙན་ཞིང་ཡིད་དབང་འགུགས་ནུས་པའི་དབྱངས་ཀྱི་གདངས་ཤིག་ཐོན་པ་རོལ་དབྱངས་སྡེ་ན་ཡོངས་གྲགས་སུ་ཁས་ལེན་པ་ཡིན། སྙོམས་ངོས་སྟེང་གི་ཚེག་ཅིག་བསྐོར་ནས་ཚད་ལྡན་མཐའ་མང་དབྱིབས་གསུམ་བཞག་ན། དེ་ནི་མཐའ་མཚུངས་མཐའ་དྲུག་དབྱིབས་གསུམ་དང་། ཁ་གང་དབྱིབས་བཞི། མཐའ་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་དྲུག་བཅས་འགྲུབ་ཐུབ་ཅིང་མཐའ་མང་དབྱིབས་དེ་དག་གི་བསྡུར་ནི༣：༤：༦བཅས་ཡིན་པས་གྲངས་ཀྱི་ཚོད་འཛིན་དང་རང་བྱུང་ཁོར་ཡུག་གི་ཆགས་གྲུབ་བར་བཟློག་མེད་ཀྱི་ཆོས་ཉིད་ཅིག་ངེས་པར་ཡོད་དེ། གྲངས་ཀས་ཚོད་འཛིན་དང་ཚད་བཀག་ཅིག་གིས་ཕྱི་རོལ་འཇིག་རྟེན་མཐུན་སྦྱོར་དུ་གནས་ཞེས་པའང་གནས་ལུགས་དང་འགལ་མེད། དེའི་ཕྱིར་བེ་ཏ་ཀེ་ལ་སིས(Pythagoras)གྲངས་ཀྱི་མཐུན་སྦྱོར་རྩ་དོན་ནི་གྲངས་རིག་མཛེས་པའི་རྩ་དོན་ཞིག་ཏུ་འདོད། ཁོས་ད་རུང་ལངས་གཟུགས་རིས་དབྱིབས་ཐམས་ཅད་ལས་ཟླུམ་དབྱིབས་ཆེས་མཛེས་པར་འདོད་པ་དང་། སྙོམས་ངོས་རིས་དབྱིབས་ཐམས་ཅད་ལས་ཆེས་མཛེས་པ་ནི་སྒོར་དབྱིབས་ཡིན་པར་འདོད་པའི་ལྟེ་བ་ཆ་འགྲིག་དང་མགོ་རྔ་གང་ཡང་བཙལ་དུ་མེད་པའི་མཛེས་པའི་བསམ་བློ་ཡིན་པ་གང་ཞིག་ཕྱིའི་སྣང་ཚུལ་དང་ནང་གི་རིག་པ་གཉིས་ཟུང་དུ་འབྲེལ་བ་ངེས་ཤེས་འདྲོངས་ནུས་ཏེ། པཱོ་ལ་ཐིས(plato)གྲངས་རིག་རིགས་འདེད་གྱི་རྩོལ་བ་རྒྱ་ཆེར་དུ་སྤེལ་ཡོད་པ་དང་། ཁོས་གྲངས་རིག་མཁས་པ་མང་བོར་ཞིབ་འཇུག་དང་དཔྱད་བརྗོད་སྤེལ་བར་སྐུལ་སློང་བྱས་ནས་ལས་དོན་དེར་དོན་སྣང་བྱས་ཡོད། «གཟུགས་འདས་རིག་པར»རྩིས་ལུགས་སྣ་ཚོགས་རིག་པ་མཛེས་པའམ་བདེན་ལུགས་སུ་བཤད་པ་ཧ་ཅང་མང་ཞིང་། དོན་དངོས་མི་ཉུང་བ་ཞིག་བདེན་དཔང་ཡང་བྱས་ཡོད་པ་ཐད་ཀར་བསྟན་མེད་ནའང་མཛེས་པའམ་བདེན་ལུགས་དང་འབྲེལ་བའི་མཚན་ཉིད་དམ་ཡང་ན་དེའི་ཤན་ཤུགས་ཀྱིས་དོན་ལ་བདེན་དཔང་བྱས་ཡོད་པ་རེད། དེའི་ཕྱིར་རྩིས་ལུགས་ཚང་མ་མཛེས་པ་དང་བདེན་ལུགས་ལ་འབྲེལ་བ་མེད་པར་བཤད་མི་རུང་། འདིའི་སྐབས་ཀྱི་མཛེས་པའི་རྣམ་པའངགཙོ་བོ་སྒྲིག་རིམ་དང་སྙོམས་འགྲིག ཡང་དག་བཅས་ལ་བཤད་པས་རྩིས་ལུགས་སྣ་ཚོགས་རིག་པའི་ཁྱད་ཆོས་ཁོ་ནས་བདེན་དཔང་བྱས་ཡོད་ཅེས་གསུངས་ཡོད། ཁོས་གྲངས་རིག་གི་མཛེས་པ་དེ་སྒྲིག་རིམ་དང་སྙོམས་འགྲིག་ལ་སོགས་པའི་རྣམ་པས་མཚོན་པར་བྱས་ཚུལ་བསྟན་ནས། མཛེས་པ་ནི་རང་བྱུང་ཚན་རིག་འཕེལ་རྒྱས་ཀྱི་སྒུལ་ཤུགས་དང་མཛེས་པ་དང་བདེན་ལུགས་གཅིག་གྱུར་ཡིན་པའང་མཚོན་པར་བྱས། གནའ་བོའི་ཀེ་རི་སིའི་གྲངས་རིག་ནི་ལྟ་བས་ཆོག་མི་ཤེས་ཤིང་ཡིད་སེམས་དབང་མེད་དུ་འགུགས་པའི་སྣ་འདུས་སྒྱུ་རྩལ་ཞིག་ཏུ་འདོད་པ་དང་། Mཁེ་ལི་ཡུན(M·line)གྱིས་རིག་ཚན་འདིས་མཛེས་པའི་ཁྱད་པར་གྱིས་གནའ་བོ་ཀེ་རི་སིའི་གྲངས་རིག་མཁས་པ་ཚོས་རིག་གཞུང་འགའ་ཤས་འཚོལ་རྟོག་དང་རང་བྱུང་ཚང་འཛོམས་གྱི་ཆུ་ཚད་ལས་ཆེ་ཆར་བརྒལ་ཟེར། ཨོ་ཅི་ལི་ཏེའི(Euclid)«དབྱིབས་རྩིས་མ་དེབ»ནི་མི་རབས་རྗེས་མར་བཞག་པའི་གྲངས་རིག་གི་མཛེས་པའི་ངོ་བོ་རྟོགས་བྱེད་ཀྱི་དྭངས་གཙང་གི་མེ་ལོང་ཞིག་དང་དབྱེར་མ་མཆིས། དེའི་ཁྲོད་ཀྱི་མཛེས་པ་ནི་ཆ་ཚང་ཞིང་རྣམ་འབྱེད་རིགས་འདེད་མ་ལག་སྟེང་ནས་གཅིག་འདུས་ཀྱིས་མཚོན་པའི་སྒྲིག་རིམ་ལྷུན་ཆགས་པ། ཁྱད་ཆོས་འབུར་དུ་ཐོན་པ། ཁ་གསལ་ཞིང་དོན་འདུས་པ། གཏན་ཚིགས་རང་བཞིན་ལྡན་པའི་མཚོན་རིས་སྟེང་མངོན་པར་བྱས་ཏེ། སྤྱི་སྲོལ་དང་མཚན་ཉིད་ཁ་ཤས་ལས་སྙོམས་ངོས་དབྱིབས་རྩིས་དང་ལངས་གཟུགས་དབྱིབས་རྩིས། གྲངས་ཀྱི་རྣམ་བཤད་བཅས་བརྗོད་གཞི་མི་ཉུང་བ་དྲངས་ཏེ་ཆོས་ཉིད་དང་ངོ་བོར་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་པར་མ་ཟད། ཐབས་ལམ་སྟེང་དུའང་མཛེས་པའི་རྣམ་པ་གསལ་བཤད་བྱས་ཡོད་པ། དཔེར་ན། གལ་ཏེ་སྒོར་དབྱིབས་དང་སྒོར་དབྱིབས་བར་གྱི་སྡུར་ནི་ཚངས་ཐིག་སྟེང་གི་ཁང་དབྱིབས་ཀྱི་སྡུར་དང་འདྲ་མཚུངས་ཡིན། ཞེས་པའི་བརྗོད་གཞི་སྒྲུབ་སྐབས་འཁྱོལ་དགག་ཟད་ཐབས་སྒྲུབ་བྱེད་རིགས་ལམ་བེད་སྤྱོད་གནང་ཡོད་པ་དང་། གནད་དོན་ཐག་གཅོད་པར་གཏན་ཚིགས་རིགས་སྒྲུབ་ཀྱི་གོ་རིམ་དང་འཚོལ་རྟོག་བརྒྱུད་རིམ་ལས་བཏང་སྙོམས་སུ་འཛིན་པའི་བདེན་དཔང་ཐབས་ལམ་དེ་གྲུབ་པ་ཡིན།
       «དབྱིབས་རྩིས་མ་དེབ»ཏུ་སྤྱིར་བཏང་རིགས་འདེད་སྐོར་གྱི་རྣམ་བཤད་གསལ་བོར་བཀོད་ཡོད་པ་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་བསམ་བློ་དང་ལུགས་མེད་གྲངས་ཀྱི་ཁྱབ་ཁོངས་ལས་ཆེས་ཆེར་བརྒལ་ཏེ་ཁུངས་བཙུན་ཞིང་ལུང་དག་པའི་རིགས་སྟོབས་ཀྱི་གོ་ཆར་མངའ་བརྙེས་པ་ཀུན་པོས་རྟོགས་ཐུབ། དེའི་ནང་གི་གྲངས་རིག་གཅིག་གྱུར་དང་གསལ་བསྡུས། ཐབས་ལམ་མཛེས་པ་བཅས་ཀྱིས་མི་རབས་ནས་མི་རབས་སུ་གྲངས་རིག་སྦྱང་བ་དོན་དུ་གཉེར་བའི་བློ་གསལ་རྣམས་ལ་བསམ་བློའི་འདུ་ཤེས་དབང་བསྒྱུར་དང་། བློ་གྲོས་ཀྱི་སྒོ་མོ་ལེགས་པར་འབྱེད་པའི་བཀག་རྒྱའམ་མ་རིག་རྨོངས་པའི་གནད་གང་དེའི་གཉེན་པོ་སྟོབས་ལྡན་དུ་གྱུར་ཡོད། ཁེང་ཏེའི«འཇིག་རྟེན་འཕེལ་བའི་ལོ་རྒྱུས་རགས་བཤད»དུ་མིག་མཐོང་ལག་ཟིན་གྱི་གྲངས་རིག་ཐབས་ལམ་དེ་དོན་དངོས་སྟེང་རང་བྱུང་ཁམས་ལས་རྒྱུན་པར་མངོན་པའི་སྣང་ཚུལ་ལས་ཀྱང་གསལ་ཞིང་སྙིང་འདུས་ཡིན་པའི་ཁྱད་ཆོས་ཡོད་ཅེས་བསྟན། ལྷག་པར་གྲངས་རིག་དབྱེ་ཞིབ་ཁྱབ་ཁོངས་སུ་དབྱེ་ཞིབ་ཐབས་ལམ་དེ་ཤུགས་རིག་པའི་ཁྱབ་ཁོངས་སུ་རྒྱ་བསྐྱེད་ནས་གཏིང་སིམ་པས་འབྲས་བུ་ཀྱང་ཁྱད་པར་ཅན་ཐོན་པ་དེའི་གསལ་བསྡུས་ཀྱི་ཐབས་ལམ་དང་། འབྲེལ་ཆགས་པའི་སྐད་ཆ། ཤུགས་བསྟན་གྱི་གསང་བ་བཅས་ལ་ཚང་མས་བསྟོད་བསྔགས་བྱེད། ལཱ་ཕི་ལ་སིའི«འཇིག་རྟེན་གྱི་རྣམ་བཤད»ཅེས་པའི་དཔེ་དེབ་གྲགས་ཅན་དུའང་གྲངས་རིག་ནི་ཁྱད་ཆོས་ལྡན་པའི་ལག་ཆ་ཞིག་ཡིན་ལ། གལ་ཏེ་གྲངས་རིག་མེད་ན་མིའི་རིགས་ཀྱི་བསམ་གཞིག་འཕེལ་རིམ་གྱི་གཞུང་ལུགས་ཤིག་ཆགས་པའི་གོ་སྐབས་ཉག་ཕྲ་བ་རེད་ཅེས་དང་། དེའི་ཐབས་ལམ་གྱི་བེད་སྤྱོད་དང་རིན་ཐང་གིས་འཇིག་རྟེན་གྱི་གསང་རྒྱ་མང་བོ་བརྟོལ་ཐུབ་ཡོད་ཅེས་བཀོད་ཡོད། ཧཱ་མེ་ཏུང(W.R.Hamilton)གི་རྒྱུ་བཞིའི་གྲངས་ཚབ་རྩིས་དང་། གསར་གཏོད་བྱེད་པོའི་མིང་ངེས་སྲོལ་ལ་བཏགས་པའི་ཀཱ་ལོ་བ་གཞུང་ལུགས། ཨོ་མིན་དབྱིབས་རྩིས། ཁེང་ཐོར(G.F.P.Cantor)གྱི་ཚོགས་སྤྱི་རྣམ་བཤད་སོགས་གཞུང་ལུགས་གསར་བ་མང་བོ་གསར་གཏོད་བྱས་ཤིང་། ཞེར་པོ་ཐིའི(Hilbert)ཁྱད་ཆོས་ལྡན་པའི་ཨོ་ཅི་ལི་ཏེ་སྤྱི་སྲོལ་མ་ལག་ཅིག་གསར་འཛུགས་བྱས། Fཁེ་ལེ་(Cayley)བརྗེ་སྒྱུར་ཁྱུའི་ལྟ་ཚུལ་བཀོལ་ཏེ་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ་གཅིག་གྱུར་གྱི་བསམ་བློ་མངོན་འགྱུར་བྱས་པའི་དོན་སྙིང་ཤུགས་ནས་བསྟན་པ་མ་ཟད། དུས་རབས་ཉི་ཤུ་བའི་དུས་རིམ་གྱི་གྲངས་རིག་མཛེས་དཔྱོད་ཀྱི་ངོས་འཛིན་ཁྱབ་རྒྱ་ཆེ་ཞིང་གཏིང་ཟབ་པར་གྱུར། ཕེང་ཅ་ལེའི(J.H.Poincare)«ཚན་རིག་དང་ཐབས་ལམ»ཞེས་པར་མཛེས་དཔྱོད་བསམ་བློ་བཀོད་ཡོད་དེ། གྲངས་རིག་ཚོར་ཤེས་དང་གྲངས་དབྱིབས་འཆམ་མཐུན་སྣང་ཚུལ། དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་ཆགས་དབྱིབས་སོགས་གྲངས་རིག་མཁས་པ་ཚོའི་མཛེས་དཔྱོད་ཀྱི་ཚོར་སྣང་ཡིན། ཞེས་པའམ་གྲངས་རིག་རྙེད་ཐུབ་པ་ཞིག་ཡིན་ན་དེའི་ནང་གི་སྒྲིག་རིམ་དང་འཆམ་མཐུན། ཆ་འགྲིག་གྲལ་དག་བཅས་ཡ་མཚན་པའི་མཛེས་པ་ཚོར་ཐུབ་པའི་མི་ཞིག་ཡིན་ཞེས་གསུངས་ཡོད། ལོ་སུའུ(B.A.Russell)ཡིས། གྲངས་རིག་ལ་ལྟ་ཚུལ་ཡང་དག་པ་ཞིག་བཟུང་ན་དེའི་བདེན་དོན་ཞིག་རྙེད་ཐུབ་པ་མ་ཟད། ཆེས་ཕུལ་དུ་བྱུང་བའི་མཛེས་པ་སྟེ་བབ་ཆགས་ཤིང་གཟབ་ནན་གྱི་ཟུར་རྒྱན་དུ་སྤྲས་པ་སོགས་སྒྱུ་རྩལ་གྱི་ཡུལ་ཁམས་མཐོ་ས་ཞིག་ཏུ་སྙེག་ཐུབ་ཡོད་ཅེས་བཤད།
གསུམ་པ། གྲངས་རིག་མཛེས་དཔྱོད་ཀྱི་རིན་ཐང་དང་ཐག་གཅོད་ཐབས་ལམ།
       བཱེ་ལ་མེས(S.M.Ulam)གྲངས་རིག་སྤྱིའི་འཕེལ་རྒྱས་གོ་རིམ་ཁྲོད་དེའི་མཛེས་དཔྱོད་དོན་སྙིང་གིས་གལ་ཆེའི་རྣམ་པ་ཚང་མ་ཟིལ་གྱིས་མནན་འདུག རྩོད་སྒྲུབ་དངོས་གཙོ་ལྟ་བའི་གྲངས་རིག་མཛེས་དཔྱོད་ལ་ལྟ་བ་དང་། སྤྱི་ཚོགས་ཐོན་སྐྱེད་དང་ཁ་བྲལ་ན་ཚན་རྩལ་གོང་དུ་འཕེལ་བའི་ཐོན་ཁུངས་དང་གྲངས་རིག་འཕེལ་རྒྱས་ཁྲོད་ཀྱི་བེད་སྤྱོད་ལ་མཐོང་ཆེན་མ་བྱས་པའམ་ཡང་ན་རང་དང་མི་འཚམ་པའི་སྤྱི་འགྲོས་ལུགས་ཀྱི་གནད་དུའང་འགྲོ་ཤས་ཆེའོ། །ཞེས་གསུངས། གྲངས་རིག་གིས་ཕྱི་རོལ་འཇིག་རྟེན་གྱི་གྲངས་ཚད་བར་གྱི་འབྲེལ་བ་དང་བར་སྣང་དབྱིབས་རྣམ་ཚུར་སྣང་བྱེད་པ་ཞིག་ཡིན་མོད་ཀྱང་། ཕྱི་རོལ་གྱི་ཡུལ་དང་དེ་གཉིས་བར་གྱི་འབྲེལ་བ་ནི་བརྙན་དང་བརྙན་གཞིའི་འབྲེལ་བ་ཙམ་མ་ཡིན་པར་མིའི་རིགས་གྱི་གསར་གཏོད་དང་། དེ་མཐུན་གྱི་གཏན་ཚིགས་རིགས་ལམ་ཡང་རྒྱུ་མཚན་གསལ་བོ་ཞིག་གི་རྣམ་གཞག་ལས་མ་འདས་པས་འབྲེལ་མེད་ཀྱི་ལྟ་ཚུལ་རང་ལས་ལོག་པར་གནས་ཤིང་། དེའི་མཛེས་པ་དང་བདེན་ལུགས། སྤུས་ཀ་བཅས་ཀྱང་ངང་ངམ་ཤུགས་ཀྱིས་འདུས་ཡོད་པས་ན་མི་བུ་རང་ཉིད་ཀྱི་རང་གཤིས་ཁྱད་ཆོས་སམ་རྣམ་པའི་ཆོས་ཉིད་ཀྱང་གྲངས་ཚད་ཀྱི་འབྲེལ་བ་དང་བར་སྣང་གི་དབྱིབས་ཚུལ་ལས་མངོན་པ་ཡིན། ཨཱ་པོར(A.Borei)གྱིས་གྲངས་རིག་མཁས་པ་ཚོས་མཛད་རྗེས་གང་མང་བཞག་ཡོད་པ་དེ་ཡང་གྲངས་རིག་གཏན་ཚིགས་རིགས་འདེད་ཀྱི་བསམ་བློ་ལས་ཐོན་ཞིང་བདེན་དཔང་བྱས་པ་ཡང་ཀུན་གྱིས་མཁྱེན་གསལ་ལྟར་རོ། །ཞེས་གསུངས་པ་དང་། ཞེར་པོར་ཐིས་གྲངས་རིག་ཚན་རིག་འདི་ནི་ལྷུ་ལག་སོ་སོས་གྲུབ་པའི་འཕྲུལ་ཆས་ཤིག་དང་འདྲ་བར་ཕན་ཚུན་ལ་དམ་་པོར་འབྲེལ་ཞིང་གནས་པས་དེའི་ཚེ་སྲོག་གི་ནུས་པའམ་རིན་ཐང་ཡང་དེ་རེ་རེའི་བར་གྱི་འབྲེལ་བ་སྟེང་དུ་གནས་ཡོད་ཅེས་པ་ལྟར། གྲངས་རིག་གི་ཁྱད་ཆོས་གཙོ་བོ་ཕན་ཚུན་རྟེན་ཅིང་འབྲེལ་བའི་ཚུལ་གྱིས་རང་བྱུང་ཚན་རིག་གི་རྨང་གཞི་ཤེས་བྱའི་ལག་ལེན་དང་འཕྲོས་དོན་ལས་འཕེལ་འགྱུར་དང་རིག་ཚན་སོ་སོའི་ཚུལ་མཐུན་ཆོས་ཉིད་ཀྱང་ཡིན་ནོ། །ཞིབ་འབྲེལ་དབྱིབས་རྩིས་དང་ཆ་ཕྲན་བསགས་བྱུང་ནས་དངོས་པོ་འགུལ་སྤྱོད་ཀྱི་སྣ་མང་རང་བཞིན་ཚད་ཀྱི་འབྲེལ་བའི་སྣང་ཚུལ་རེ་ནས་གྲངས་རིག་ཡན་ལག་མང་པོར་གྱུར་ལ་དེ་ཡང་འདུས་མཐར་བྲལ་བ་དང་། བྲལ་མཐར་འདུས་པའི་ཆོས་ཉིད་ལྟར་རང་རྐྱ་འཕེར་བའི་རིག་ཚན་འདི་ཡང་བྲལ་བ་དང་འདུ་བའི་ཚུལ་གྱིས་དུས་རབས་བཅུ་དགུ་བའི་ནང་གྲངས་རིག་གཅིག་གྱུར་ཅན་གྱི་འཕེལ་ཕྱོགས་དང་ཞིབ་འཇུག་གཏད་ཡུལ་སོ་སོའི་ཤེས་བྱའི་མ་ལག་གི་སྙིང་བོ་ཐམས་ཅད་གཞི་ལམ་འབྲས་བུའི་གནས་ལུགས་དངོས་ལ་གཞིགས་ནས་ལག་ལེན་ལ་སྦྱོར་ཐུབ་པ་ཞིག་ཏུ་འབད་པ་དང་རྒྱུན་འཁྱོངས་བྱེད་བཞིན་ཡོད། Fཁེ་ལི་ཡིས་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་ངོ་བོ་དེའང་གཅིག་གྱུར་དང་དབྱིབས་རྣམ་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་པ་དང་ཉེ་ཆར་འཕེལ་རྒྱས་མགྱོགས་པའི་འབྲས་བུ་ནི་ཕན་ཚུན་སོ་སོར་གྱེས་པའི་རིག་ཚན་ཡན་ལག་དག་ཡིན། དེའི་ནང་གི་རིག་ཚན་ཡན་ལག་རེ་རེ་ཡང་སྒེར་ཚུགས་ཀྱིས་མུ་མཐུད་འཕེལ་རྒྱས་སུ་འགྲོ་བཞིན་ཡོད་ཅེས་གསུངས་པ་དང་། དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་མཚན་ཉིད་བཏོན་པའི་རྗེས། ཁྱུའི་རྣམ་བཤད་ཀྱིས་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་ཁྲོད་དུ་ཞིབ་འཇུག་ཁྱབ་ཁོངས་རྒྱ་ཆེར་སྤེལ་ནས་ལག་ལེན་དཕྱིས་ཕྱིན་པ་ཞིག་ཏུ་འཕེལ་འགྱུར་དང་། ཐོ་ཕུ་རིག་པ་སོགས་ཞིབ་འཇུག་དང་དྲི་བ་ཡང་མང་བོ་ཞིག་བཏོན་ཡོད། ཉེས་རབས་ཚབ་རྩིས་རིག་པར་སྤྱི་མཚན་ཚབ་རྩིས་ཞིབ་འཇུག་བྱས་པའི་འབྲས་བུ་ཚང་མ་ཕྱོགས་བསྡུས་ཀྱིས་ཚབ་རྩིས་རྩིས་གཞི་སྣ་ཚོགས་དང་ཚབ་རྩིས་གྲུབ་ཆའི(ཁྱུ། གདུབ། ཁོངས། མའོ་སོགས།)ངོ་བོར་ཞིབ་འཇུག་བྱས་ཡོད། ཚབ་རྩིས་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་བཤད་དང་། ཚབ་རྩིས་དབྱིབས་རྩིས། ཐོ་ཕུ། ཁྱབ་རྟེན་དབྱེ་ཞིབ་ལ་སོགས་གྲངས་རིག་ཡན་ལག་གི་འཕེལ་རྒྱས་ལ་སྐུལ་འདེད་བྱས། སྤྱིར་ན་གྲངས་རིག་གིས་འཇིག་རྟེན་གཅིག་གྱུར་གྱི་རང་བཞིན་ངོས་ཟིན་པའི་གོ་རིམ་ཡང་ཀྱག་ཀྱོག་གི་རྣམ་པ་ལྡན་ཞིང་ཟོ་ཆུན་གྱི་འཁོར་ལོ་བཞིན་མཐོ་ས་ནས་དམའ་ས་དང་དམའ་ས་ནས་མཐོ་སར་ཕབ་པའི་ཁོར་མོ་ཡུག་ཏུ་ཀུན་ནས་འཁོར་ཞིང་འབབ་ས་གཅིག་དང་ལངས་ཕྱོགས་གཅིག་ཏུ་གྱུར་བའི་ལྟ་བ་དང་གཏད་ཡུལ་གྱི་ཞིབ་འཇུག་ལ་ཐོ་གཏུགས་ཐུབ་པ་རེ་བྱུང་ན་སྤྱི་སྲོལ་དུ་དར་བའི་བྱེད་སྒོ་སྣ་ཚོགས་པས་དངོས་ཡོད་གནས་བབ་ཀྱི་ཐག་གཅོད་ཐབས་དམིགས་སུ་བརྗོད་པའི་དབང་དུ་བཏང་ན་ཡང་། ཨོ་ལ་ཡིས་གསར་གཏོད་བྱས་པའི་སྤྱི་འགྲོས་ལྟ་བུར་མཚོན་ནའང་དེ་ལུགས་བཞིན་ཏེ། དཔེར་ན། ཁྲོད་སྟོན་གྲངས་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་དང་ཟུར་གསུམ་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ཀྱི་གཅིག་གྱུར་ཅན་དང་མཛེས་པའི་ཁྱད་ཆོས་མངོན་པར་གསལ་བའི་ནང་དོན་གྱི་སྒྲིག་གཞི་ཡང་དག་ཅིང་ཆ་ཚང་བ་ཞིག་ཏུ་འདུག་ལ། ལྟ་བུར་མཚོན་ནའང་ཚིག་ཉུང་ཞིང་དོན་འདུས་པ་མ་ཟད། རྒྱུན་གྲངས་ལྔ་བོ་གཅིག་གྱུར་ཡིན་པ་བསྟན་འདུག དེའི་ནང་དངོས་ཡོད་གྲངས་འདུས་པ་མ་ཟད་ཟོལ་གྲངས་དང་ཚབ་གྲངས་ཀྱང་འདུས་པའི་གཅིག་གྱུར་མཛེས་པའི་སྔ་རྐྱེན་ཕྱི་འབྱུང་གི་ཆོས་ཉིད་ངེས་ཅན་རེ་འདུས་ལ། ལངས་གཟུགས་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་ནང་དུའང་ཀ་གཟུགས་དང་སྙུང་གཟུགས། སྟེགས་གཟུགས་བཅས་ཀྱི་བོངས་ཚད་དེV=h(sགོང+sགོང་ཞབས)+ཞབས)མཚོན་ཆོག་ལ་རིགས་འདྲའི་ཀ་གཟུགས་གོ་དོན་གྱི་རྣམ་པ་ལྟར་ནV=h(sགོང+4Sབར+Sཞབས)ཡིན་པས་གྲུ་ལྡན་ཀ་བ་དང་གྲུ་ལྡན་སྙུང་བུ། གྲུ་ལྡན་སྟེགས་བུ་བཅས་རིགས་འདྲའི་ཀ་གཟུགས་ནང་གཅིག་གྱུར་ཡིན་པ་གསལ་བཤད་བྱས། འབུར་བའི་ངོས་མང་གཟུགས་སྣ་ཚོགས་ཀྱི་རྩེ་ཚེག་གྲངས་ནིVདང་གྲུ་གའི་གྲངསEདང་ངོས་གྲངས་ལFབར་གྱི་འབྲེལ་བ་ལ་སྔར་ནས་ཏེས་ཁར(ReneDescarter)དང་ཨོ་ལ(Euler Leonhard)སོགས་གྲངས་རིག་མཁས་དབང་མང་བོའི་གདེང་འཇོག་མཛད་ཡོད། ཨོ་ལ་ཡིསv+f-e=2སྤྱི་འགྲོས་འདི་གསར་གཏོད་བྱས་པ་བརྒྱུད་ནས་དེར་ཞིབ་འཇུག་དང་ལག་ལེན་བྱས་མཐར་ངོས་མང་གཟུགས་ཡོད་ཚད་ཀྱི་གྲངསv+f-eཚང་མ2དང་མི་མཚུངས་པ་ཤེས་ལ་དེར་མཚན་ཉིད་ཅིག་བཞག་པ་ནིx=v+f-eཡིན། xའདྲ་མཚུངས་ཡིན་པའི་ངོས་མང་གཟུགས་གཉིས་པོའི་ནང་དུ་གཅིག་ནི་མུ་མཐུད་དུ་དབྱིབས་འགྱུར་ནས་གཞན་ཞིག་དང་འདྲ་བ་ཤེས་ཐུབ་ཡོད་པ་དང་། xནི་དེའི་རིགས་ངོས་མང་གཟུགས་ཀྱི་ཚད་མི་འགྱུར་བའི་ཐོ་ཕུ་ལ་འདོད་པ་ཡང་ཀུན་རྫོབ་འཁྲུལ་བའི་སྣང་ངོར་དཔེ་རྨི་ལམ་གྱི་དམག་དཔུང་རང་ལ་སྡང་བ་བཞིན་ཕན་གནོད་ཀྱི་བྱེད་པོར་སྣང་བ་ལ་རྟེན་འབྲེལ་གྱི་དཔྱད་བཅོས་སམ་སྤང་བླང་ཚུལ་བཞིན་རྟོགས་པའི་སླད་དུ་འདི་དག་རྒྱས་པར་ཤེས་དགོས་ནའང་། མང་དུ་བསྟན་པས་ལེ་ལོ་ཅན་རྣམས་སྒྱུད་ལུག་པ་དང་། ཆེས་ཉུང་དུ་བསྡུས་ན་དོན་སྙིང་མི་རྟོགས་པས་རྒྱས་བསྡུས་རན་པ་ཞིག་ཀུན་ལ་མཁོ་གལ་ཆེ་སྟེ། བཻ་དཀར་ལས། རྒྱས་པར་ཤོད་ལ་ཉུང་དུ་བསྡུས།མང་བར་སྤུངས་ལ་སྦོམ་པར་སྒྲིལ། རིང་བར་བསྲིང་ལ་ཆོལ་བར་ཆོད། ཞིབ་ཏུ་རྩིས་ལ་རྩིང་ལྟར་སྨོས། མང་དུ་བཀོལ་ལ་ཉུང་དུ་ཤོད། ཅེས་པ་ལྟར་སྐབས་དོན་ལས་འཕྲོས་པའི་ཉུང་བ་མང་པོ་དང་མང་པོ་ཉུང་བར་བསྒྲིལ་བའི་དགོས་དབང་ཁྱད་པར་ཅན་གྱི་བརྩི་སྟངས་སྣ་མང་ལ་གཞི་བཅོལ་ཏེ་བཤད་བྱའི་གནས་གང་ཞིག་བརྗོད་པ་ལ། གྲངས་རིག་ཁྲོད་ཀྱི་གཅིག་གྱུར་ནི། དཔེར་ན། བར་ཐག་གོ་དོན་ལྟར་ན། ཚེག་ནས་སྙོམས་ངོས་བར་གྱི་བར་ཐག་དང་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་གཉིས་བར་གྱི་བར་ཐག མཉམ་འགྲོ་སྙོམས་ངོས་གཉིས་བར་གྱི་བར་ཐག དྲང་ཐིག་དང་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་པའི་སྙོམས་ངོས་བར་གྱི་བར་ཐག་ལ་སོགས་པའི་གོ་དོན་ཡོད་ལ། དེར་ཡང་བར་ཐག་གཅིག་གྱུར་གྱི་མཚད་ཉིད་བཞག་ཆོག་པས། Aནི་སྟོང་ཚོགས་མིན་པའི་ཚོགས་སྤྱི་ཡིན་པར་བྱས་ན། གལ་ཏེAནང་གང་རུང་གི་རྒྱུ་གཉིསx，yཡོད་ན། དེའི་ཆོས་ཉིད་གཞིར་བཟུང་ནས་གཏན་ཁེལ་བྱས་པའི་དངོས་ཡོད་གྲངསM(x，y)དང་ལྟོས་ཟླ་ཡིན་ན། དེར་རྣམ་པ་འདི་ལྟ་བུ་ཡོད་དེ། གཅིག་ནས། M(x，y)དེ་ལྟརx=yསྐབསM(x，y)=0ཡིན། གཉིས་སུ། M(x，y)=M(y，x)；གསུམ་དུ། M(x，y) M(x，z)+M(z，x)དེ་གང་རུངzཚང་མ་ཚུགས་ཐུབ། དེ་ལྟར་ན། M(x，y)ནིx，yཡི་བར་ཐག་ཡིན། ཡང་ན(A，M)ནིMཡི་བར་ཐག་ཡིན་པའི་བར་སྣང་གི་མཚོན་ཚུལ་རྣམ་པ་ཡིན་ལ་འདི་འདྲའི་བར་ཐག་གི་ཚད་གཅིག་གྱུར་ཡིན་པས་བྱ་དངོས་སྣ་མང་གི་ངོ་བོ་དང་ཆོས་ཉིད་རྟོག་ཐུབ་པ་བྱུང་། གྲངས་རིག་གཏད་ཡུལ་སོ་སོའི་སྣ་མང་ཞིབ་འཇུག་ལ་ཆ་རྐྱེན་མི་ཉུང་བ་ཞིག་བཟོས་ཡོད་དེ། དཔེར་ན། ཟུམ་པའི་བར་མཚམས[a，b]སྟེང་དངོས་ཡོད་གྲངས་ཐང་ཚང་མས་མུ་འབྲེལ་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ཀྱིས་གྲུབ་པའི་ཚོགས་སྤྱིc[a，b]ནང་བར་ཐག་མཚན་ཉིད་བཞག་ཆོག་པ་ལྟ་བུ། རྨང་གཞིའི་གྲངས་རིག་ཏུ་ཚེག་འགོད་ཐབས་ལ་བརྟེན་ནས་སྟབས་བདེའི་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ཁ་ཤས་ཀྱི་དཔེ་རིས་བྲིས་པ་ཡིན། འོན་ཀྱང་། ཚེག་འགོད་ཐབས་ནི་ཆ་ཚང་བ་ཞིག་མིན། དེའི་རྒྱུ་མཚན་ནི་ཚེག་འགོད་ཐབས་ཀྱིས་བདམས་ལེན་བྱས་པ་ཧ་ཅང་གི་ཚད་བཀག་ལྡན་པ་ཞིག་ཡིན་པས་གནད་འགག་རང་བཞིན་གྱི་ཚེག་སྟེ། དཔེར་ན་ཤོས་ཐང་ཚེག་དང་དཀྱོག་ཚེག་སོགས་ལྷག་ལུས་ཤོར་སྲིད་པ་དང་། འཁྱོག་ཐིག་གི་རྐྱང་འགྱུར་དང་འབུར་བའི་རང་བཞིན་སོགས་གལ་ཆེ་བའི་དོན་འགའ་རེ་རྟོགས་མི་སྲིད་པས། ཚེག་འགོད་ཐབས་ཙམ་ལ་བརྟེན་ནས་བྲིས་པའི་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ཀྱི་དཔེ་རིས་རྒྱུན་པར་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ཀྱི་དཔེ་རིས་དངོས་དང་ཁྱད་པར་ཡོད་པས་བསྡུར་མཐའ་བཀོལ་ནས་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ཀྱི་རྐྱང་འགྱུར་དང་ཤོས་ཐང་། འབུར་བའི་རང་བཞིན། དཀྱོག་ཚེག་བཅས་ལ་ཞིབ་འཇུག་དང་ངོས་འཛིན་བྱས་ན་དེའི་གཏན་ཚིགས་བརྒྱུད་རིམ་དང་འབྲེལ་ནས་ཞིབ་ཚགས་ཀྱང་སྒྲིག་གཞི་ཡང་དག་ཅིག་གིས་སྣང་གནས་ཀྱི་ཆོས་རྣམ་པར་འབྱེད་པའི་ཕྱི་ནང་གི་མཛེས་དཔྱོད་རིན་ཐང་ཞིག་གིས་ཁྱད་ཆོས་ཡོད་པ་དེ་བཞིན་ནོ། །

ཟུར་ལྟའི་ཡིག་ཆ།
[༡] ཨའོ་ཅི་ལེ་ཏེས། དབྱིབས་རྩིས་མ་དེབ། ཀྲང་པེ་ཐེན་གྱིས་བསྒྱུར། [M] ཁྲུང་ཆིན་དཔེ་སྐྲུན་ཁང་། ༢༠༡༤ལོར།
[༢] ཧེ་ཀར་གྱིས་མཛད། མཛེས་དཔྱོད། [M] པེ་ཅིང་སློབ་ཆེན་དཔེ་སྐྲུན་ཁང་། ༢༠༡༧ལོར།
[༣] ཡ་ལིས་ཧྲི་ཏོ་ཏེས་མཛད། བུའུ་ཧྲིག་ཕུན་གྱིས་བསྒྱུར། གཟུགས་འདས་རིག་པ། [M] ཚོང་དོན་དཔེ་ཁང་། ༡༩༩༧ལོར།
[༤] ཁེང་ཏེས་མཛད། འཇིག་རྟེན་འཕེལ་བའི་ལོ་རྒྱུས་རགས་བཤད། [M] པེ་ཅིང་སློབ་ཆེན་དཔེ་སྐྲུན་ཁང་།༢༠༡༦ལོར།
[༥] ཨང་ལེ་ཕེ་ཅ་ལེས་མཛད། ཚན་རིག་དང་ཐབས་ལམ། [M] ཚོང་དོན་དཔེ་ཁང་། ༢༠༠༦ལོར།
[༦] ལཱ་ཕི་ལ་སིའི་མཛད། ལིས་ཧང་གིས་བསྒྱུར། འཇིག་རྟེན་མ་ལག་གི་རྣམ་བཤད། [M] ཧྲང་ཧེ། ཧྲང་ཧེ་འགྱུར་ཡིག་དཔེ་སྐྲུན་ཁང་། ༢༠༠༡ལོར།

རྩོམ་པ་པོ་ངོ་སྤྲོད། དཔལ་ཆེན་རྡོ་རྗེ། ཕ་ཡུལ་མཚོ་སྔོན་གཅན་ཚ། ཀན་སུའུ་མི་རིགས་དགེ་འོས་སློབ་གྲྭ་ཆེན་མོའི་དགེ་རྒན་ཆེན་མོ་ཡིན།